Question

11．在三角形中，a=6，tanB=$\sqrt{7}$，若$\frac{a}{2RsinC}$=$\sqrt{2}$，R为外接圆的半径，求sinC．

Answer 1

分析 由a=6，若$\frac{a}{2RsinC}$=$\sqrt{2}$，可求得a，c的值，由tanB=$\sqrt{7}$，可求得sinB，再由余弦定理可求b的值，由正弦定理可求sinA，从而可求sinC的值．

解答 解：∵a=6，$\frac{a}{2RsinC}$=$\sqrt{2}$，R为外接圆的半径，
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，可得：$\frac{sinA}{sinC}=\sqrt{2}$，a=$\sqrt{2}c$，解得c=3$\sqrt{2}$．
∵tanB=$\sqrt{7}$，∴sinB=$\sqrt{7}$cosB，则B为锐角，两边平方整理可得：cosB=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，从而可得sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{14}}{4}$．
∴由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{54-{b}^{2}}{36\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，可解得：b=6．
∴由正弦定理可得：sinA=sinB=$\frac{\sqrt{14}}{4}$．
∴sinC=$\frac{sinA}{\sqrt{2}}$=$\frac{\frac{\sqrt{14}}{4}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式的应用，熟练使用相关公式，定理及推论是解题的关键，属于基本知识的考查．