Question

16.如图，正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线，分别交AB，AC于B₁，C₁.将△AB₁C₁沿B₁C₁折起到△A₁B₁C₁的位置，使点A₁在平面BB₁C₁C上的射影恰是线段BC的中点M.求

 

（Ⅰ）二面角A₁－B₁C₁－M的大小；

（Ⅱ）异面直线A₁B₁与CC₁所成角的大小（用反三角函数表示）.

Answer 1

16.本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力.

解：（Ⅰ）连接AM，A₁G .

　　　　∵G是正三角形ABC的中心，且M为BC的中点，

　　　　∴A，G，M三点共线，AM⊥BC.

∵B₁C₁∥BC，

∴B₁C₁⊥AM于G，

即GM⊥B₁C₁，GA₁⊥B₁C₁，

∴∠A₁GM是二面角A₁－B₁C₁－M的平面角.

∵点A₁在平面BB₁C₁C上的射影为M，

∴A₁M⊥MG，∠A₁MG＝90°.

在Rt△A₁GM中，由A₁G＝AG＝2GM得∠A₁GM＝60°，

即二面角A₁－B₁C₁－M的大小是60°.

（Ⅱ）过B₁作C₁C的平行线交BC于P，则∠A₁B₁P等于异面直线A₁B₁与CC₁所成的角.

由PB₁C₁C是平行四边形得B₁P＝C₁C＝1＝BP，

PM＝BM－BP＝，A₁B₁＝AB₁＝2.

∵A₁M⊥面BB₁C₁C于M，

∴A₁M⊥BC，∠A₁MP＝90°.

在Rt△A₁GM中，A₁M＝A₁G·sin60°＝＝.

在Rt△A₁MP中，A₁P²＝A₁M²＋PM²＝.

在△A₁B₁P中，由余弦定理得

cosA₁B₁P＝＝＝，

∴异面直线A₁B₁与CC₁所成角的大小为arccos.