题目内容

14．求离心率为$\sqrt{2}$且经过点（3，1）的双曲线的标准方程．

分析 设双曲线的方程为x2-y2=λ，将点（3，1）代入得λ=8，即可求离心率为$\sqrt{2}$且经过点（3，1）的双曲线的标准方程．

解答 解：∵双曲线的离心率为$\sqrt{2}$，
∴双曲线为等轴双曲线，即a=b
设双曲线的方程为x2-y2=λ
将点（3，1）代入得λ=8，
∴双曲线的方程为x2-y2=8，
故双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{8}=1$．

点评 本题是中档题，考查双曲线方程的求法，熟练掌握待定系数法求圆锥曲线标准方程的方法过程是解答的关键．

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