Question

4．定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足f（mn）=f（m）+f（n）（m，n＞0），且当x＞1时，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）求证：f（$\frac{m}{n}$）=f（m）-f（n）

Answer 1

分析 （1）利用特殊值法令令m=n=1，可得f（1）=f（1）+f（1），求出f（1）的值；
（2）对f（m）进行变形可得f（m）=f（$\frac{m}{n}$n），利用题中条件可得f（m）=f（$\frac{m}{n}$n）=f（$\frac{m}{n}$）+f（n），得出结论．

解答 解：（1）令m=n=1
∴f（1）=f（1）+f（1）
∴f（1）=0；
证明（2）f（m）=f（$\frac{m}{n}$×n）
=f（$\frac{m}{n}$）+f（n）
∴f（$\frac{m}{n}$）=f（m）-f（n）

点评 考察了抽象函数的求值问题和对条件的利用．