Question

【题目】已知抛物线经过点，过作两条不同直线，其中直线关于直线对称.

（Ⅰ）求抛物线的方程及准线方程；

（Ⅱ）设直线分别交抛物线于两点（均不与重合），若以线段为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） ；准线方程为 ；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）将点坐标代入曲线方程求出，于是可得曲线方程．（Ⅱ）方法一：由题意设出直线的方程，与抛物线方程联立消元后根据根与系数的关系求出点的坐标，同理得到点的坐标，然后根据以线段为直径的圆与抛物线的准线相切可求得点中的参数，进而可得所求方程．方法二：由题意得与的倾斜角互补，由此可得，于是可设直线的方程为，与曲线方程联立消元后再根据题意求得参数，进而得到直线方程．

（Ⅰ）∵抛物线过点，

∴，解得，

∴抛物线的方程为，准线方程为．

（Ⅱ）方法一：不妨设在的左边，从而可设直线的方程为，即，

由消去整理得．

设，

则，故，

∴，

∴点．

又由条件得与的倾斜角互补，以代替点坐标中的，

可得点．

∴，且中点的横坐标为，

∵以线段为直径的圆与抛物线的准线相切，

∴，解得

∴，，

∴，

∴直线的方程为，即．

方法二：设，

因为直线关于对称，所以与的倾斜角互补，

所以，

所以，

所以．

设直线的方程为，

由消去去整理得，

所以，

所以，且中点D的横坐标为．

因为以线段为直径的圆与抛物线的准线相切，

所以，

即，解得，

所以直线的方程为，即．