Question

已知函数f(x)=

bx-5

x+a

（x≠-a，a、b是常数，且ab≠-5），对定义域内任意x（x≠-a、x≠-a-3且x≠a+3），恒有f（3+x）+f（3-x）=4成立．
（1）求函数y=f（x）的解析式，并写出函数的定义域；
（2）求x的取值范围，使得f（x）∈[0，2）∪（2，4]．

Answer 1

分析：（1）用待定系数法求函数的解析式，可以根据函数赋值的概念和分式的整理，来解决．
（2）用定义域的概念，或者函数的单调性来求解，也可以根据反函数的概念来解决本题．

解答：解：（1）∵f(x)=

bx-5

x+a

=b-

ab+5

x+a

(ab≠-5)，f(3+x)+f(3-x)=4，
∴b-

ab+5

3+a+x

+b-

ab+5

3+a-x

=4，即(2b-4)-(ab+5)

2a+6

(3+a+x)(3+a-x)

=0
对使等式有意义的任意x恒成立．（4分）
∴

2a+6=0 2b-4=0

，

a=-3 b=2

．（6分）
于是，所求函数为f(x)=

2x-5

x-3

，
定义域为（-∞，3）∪（3，+∞）．（8分）
（2）∵f(x)=

2x-5

x-3

=2+

1

x-3

(x≠3)，f（x）∈[0，2）∪（2，4]，
∴0≤f（x）＜2或2＜f（x）≤4，
即0≤2+

1

x-3

＜2或2＜2+

1

x-3

≤4．（10分）
解不等式0≤2+

1

x-3

＜2，得x≤

5

2

；
解不等式2＜2+

1

x-3

≤4，得x≥

7

2

．（14分）
∴当x∈(-∞，

5

2

]∪[

7

2

，+∞)时，f（x）∈[0，2）∪（2，4]．（16分）

点评：（1）本题综合考查函数解析式的求法，除了分式的整理还需要掌握函数的基本知识．
（2）本题考查了函数定义域和值域的运用，同时考查了不等式的计算，一定要从函数的基本性质入手．