Question

已知函数f(x)=(b＜0)的值域为［1,3］.

(1)求实数b、c的值；

(2)判断函数F(x)=lgf(x)在［-1,1］上的单调性；

(3)若t∈R,求证：lg≤F(|t-|-|t+|)≤lg.

Answer 1

(1)解:由y=知x∈R,变形为(2-y)x²+bx+c-y=0,

    当2-y≠0时，由于x∈R得Δ=b²-4(2-y)(c-y)≥0即4y²-4(2+c)y+8c-b²≤0,由题意知1≤y≤3,由韦达定理得又b＜0,∴

(2)解:f(x)=

    设-1≤x₁＜x₂≤1,则

f(x₁)-f(x₂)==(2-)-(2-)=-=

∵-1≤x₁＜x₂≤1,∴x₂-x₁＞0,1-x₁x₂＞0,

    又(+1)(+1)＞0

∴f(x₁)-f(x₂)＞0,∴f(x)在［-1,1］上为减函数

∴F(x)=lgf(x)在［-1，1］上也为减函数.

(3)证明:||t-|-|t+||≤|t--t-|=

∴-≤|t-|-|t+|≤

    又F(x)在［-1，1］上为减函数，

∴lg=F()≤F(|t-|-|t+|)≤F(-)=lg

∴lg≤F(|t-|-|t+|)≤lg.