Question

已知函数f(x)= (b＜0)的值域是［1，3］，

(1)求b、c的值；

(2)判断函数F(x)=lgf(x)，当x∈［－1，1］时的单调性，并证明你的结论；

(3)若t∈R，求证  lg≤F(|t－|－|t+|)≤lg.

Answer 1

(1) c=2，b=－2，(2) F(x)为增函数 (3)证明略

解析:

  设y=，则(y－2)x²－bx+y－c=0        ①

∵x∈R，∴①的判别式Δ≥0，即 b²－4(y－2)(y－c)≥0，

即4y²－4(2+c)y+8c+b²≤0                                                ②

由条件知，不等式②的解集是［1，3］

∴1，3是方程4y²－4(2+c)y+8c+b²=0的两根

∴c=2，b=－2，b=2(舍）

(2)任取x₁，x₂∈［－1，1］，且x₂＞x₁，则x₂－x₁＞0，且

(x₂－x₁)(1－x₁x₂)＞0，

∴f(x₂)－f(x₁)=－＞0，

∴f(x₂)＞f(x₁)，lgf(x₂)＞lgf(x₁)，即F(x₂)＞F(x₁)

∴F(x)为增函数.

即－≤u≤，根据F(x)的单调性知

F(－)≤F(u)≤F()，

∴lg≤F(|t－|－|t+|)≤lg对任意实数t 成立.