Question

如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点.
（1）求证：PB⊥DM；
（2）求BD与平面ADMN所成的角.

Answer 1

（1）证明略（2）BD与平面ADMN所成的角为30°

（1） ∵N是PB的中点，PA=PB，

∴AN⊥PB.∵∠BAD=90°，∴AD⊥AB.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.
∵PA∩AB=A，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥PB.              4分
又∵AD∩AN=A，∴PB⊥平面ADMN.
∵DM平面ADMN，∴PB⊥DM.                         7分
（2） 连接DN，
∵PB⊥平面ADMN，
∴∠BDN是BD与平面ADMN所成的角，                 10分
在Rt△BDN中，
sin∠BDN===，                            12分
∴∠BDN=30°,
即BD与平面ADMN所成的角为30°.                       14分