Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知曲线上的动点到点的距离与到直线的距离相等．

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）过点分别作射线、交曲线于不同的两点、，且．试探究直线是否过定点？如果是，请求出该定点；如果不是，请说明理由

Answer 1

【答案】（1） （2）直线经过定点，理由见解析.

【解析】

（1）设出的坐标，利用已知条件列出方程，即可求解轨迹方程．
（2）直线斜率不能为0，设直线的方程为，联立得，，设，通过得到关系式，利用点在抛物线上，转化求解直线系方程直线方程，推出结果．

（1）设动点，依题意动点到点的距离与到直线.
可得，即.

化简得，∴曲线的轨迹方程为．
（2）直线经过定点.
依题意，直线斜率不能为0，所以设直线的方程为

联立得，①，
设，则．
又
即 ，
即
又

所以

∴

即

或

依题意，直线:不经过，∴.

所以
而当时，直线方程为，即.
即直线过定点．

综上，直线过定点．