Question

【题目】已知函数（）.

（1）求证：函数是增函数；

（2）若函数在上的值域是（），求实数的取值范围；

（3）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析

（2）

（3）

【解析】

（1）设，然后利用单调性的定义证明.

（2）由（1）得，函数是增函数，利用转化为方程运用韦达定理即可.

（3）把不等式变形为，然后定义新函数并运用二次函数的性质即可得到答案.

（1）设，则

由于，故，

因此，即

故该函数为增函数.

（2）由（1）得，函数是增函数，则，即，

所以 可视为方程的两个不同的正实数根

，解得，即实数的取值范围是.

（3）不等式，即

因为，上述不等式化为，

令，则其图象对称轴为，讨论两种情况：

① ，解得；

② 即解得：.

综上，实数的取值范围为.