Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CB=

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AB，E是PB的中点．
（Ⅰ）求证：EC∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAD．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设PA的中点为F，连接EF、DF，欲证EC∥平面PAD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EC与平面PAD内一直线平行，而根据条件可知四边形FECD是平行四边形则CE∥DF，满足定理条件，则EC∥平面PAD；
（Ⅱ）取AD的中点H，连接PH，根据PA=PD，所以PH⊥AD，又根据平面PAD⊥平面ABCD，从而PH⊥平面ADCB，则PH⊥BD，取AB的中点为G，连接DG，欲证BD⊥平面PAD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BD与平面PAD内两相交直线垂直，而AD⊥BD，PH⊥BD，AD∩PH=H，满足定理所需条件．

解答：证明：（Ⅰ）设PA的中点为F，连接EF、DF，
因为E是PB的中点，所以EF∥AB且EF=

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AB（3分）
由已知∠ABC=∠BCD=90°，
所以CD∥AB（4分）
又∵DC=

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AB，
∴四边形FECD是平行四边形，CE∥DF（6分）
而FD在平面APD内
所以EC∥平面PAD（7分）
（Ⅱ）取AD的中点H，连接PH，因为PA=PD，所以PH⊥AD
又∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PH⊥平面ADCB
∴PH⊥BD①（10分）
取AB的中点为G，连接DG
由题意易知是DGBC正四边形，∠GBD=∠BDG=45°AG=GD，∠GAD=∠ADG=45°
所以∠ADB=90°，AD⊥BD②（13分）
由①②可知BD⊥平面PAD（14分）

点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及直线与平面垂直的判定，应熟练记忆直线与平面平行的判定定理和直线与平面垂直的判定定理．