题目内容
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB=4，PA=3，点A在PD上的射影为点G，点E在AB上，平面PEC⊥平面PDC．（1）求证：AG∥平面PEC；
（2）求AE的长；
（3）求二面角E-PC-A的正弦值．
分析：（1）先证明AG⊥平面PCD，作EF⊥PC于F，再证EF⊥平面PCD，可得EF∥AG．在应用直线和平面平行的判定定理证得 AG∥平面PEC．
（2）先证明四边形AEFG为平行四边形，AE=GF，求得PG=
，再由
=
，求得GF的值，可得AE的值．
（3）过E作EO⊥AC于点O，证得∠EFO即为二面角E-PC-A的平面角． 求出EO=AE•sin45°的值，又EF=AG=
，由sin∠EFO=
=
×
，运算求得结果．
（2）先证明四边形AEFG为平行四边形，AE=GF，求得PG=
| 9 |
| 5 |
| GF |
| CD |
| PG |
| PD |
（3）过E作EO⊥AC于点O，证得∠EFO即为二面角E-PC-A的平面角． 求出EO=AE•sin45°的值，又EF=AG=
| 12 |
| 5 |
| EO |
| EF |
18
| ||
| 25 |
| 5 |
| 12 |
解答：解：（1）证明：∵正方形ABCD中，CD⊥AD，由PA⊥平面ABCD可得CD⊥PA，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AG．
又PD⊥AG∴AG⊥平面PCD． …（2分）
作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD，∴EF⊥平面PCD，∴EF∥AG．
又AG不在面PEC内，而EF?面PEC，∴AG∥平面PEC． …（4分）
（2）由（Ⅰ）知A、E、F、G四点共面，又AE∥CD，∴AE∥平面PCD，∴AE∥GF．
∴四边形AEFG为平行四边形，∴AE=GF． …（5分）
∵PA=3，AB=4，∴PD=5，AG=
．
又PA2=PG•PD，∴PG=
． …（7分）
又
=
，∴GF=
=
，∴AE=
． …（9分）
（3）过E作EO⊥AC于点O，易知EO⊥平面PAC．
又EF⊥PC，∴OF⊥PC，∴∠EFO即为二面角E-PC-A的平面角． …（11分）
EO=AE•sin45°=
•
=
，又EF=AG=
，
∴sin∠EFO=
=
×
=
． …（14分）
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AG．
又PD⊥AG∴AG⊥平面PCD． …（2分）
作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD，∴EF⊥平面PCD，∴EF∥AG．
又AG不在面PEC内，而EF?面PEC，∴AG∥平面PEC． …（4分）
（2）由（Ⅰ）知A、E、F、G四点共面，又AE∥CD，∴AE∥平面PCD，∴AE∥GF．
∴四边形AEFG为平行四边形，∴AE=GF． …（5分）
∵PA=3，AB=4，∴PD=5，AG=
| 12 |
| 5 |
又PA2=PG•PD，∴PG=
| 9 |
| 5 |
又
| GF |
| CD |
| PG |
| PD |
| ||
| 5 |
| 36 |
| 25 |
| 36 |
| 25 |
（3）过E作EO⊥AC于点O，易知EO⊥平面PAC．
又EF⊥PC，∴OF⊥PC，∴∠EFO即为二面角E-PC-A的平面角． …（11分）
EO=AE•sin45°=
| 36 |
| 25 |
| ||
| 2 |
18
| ||
| 25 |
| 12 |
| 5 |
∴sin∠EFO=
| EO |
| EF |
18
| ||
| 25 |
| 5 |
| 12 |
3
| ||
| 10 |
点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，求线段的长度以及二面角的平面角的大小的方法，属于中档题．
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