题目内容

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的菱形,∠ABC=60°PD⊥面ABCD,PC=a,E为PB中点
(1)求证;平面ACE⊥面ABCD;
(2)求三棱锥P-EDC的体积.
分析:(1)设AC∩BD=0,连EO,则EO∥PD,由PC⊥平面ABCD,知EO⊥平面ABCD,由此能够证明平面EDB⊥平面ABCD.
(2)作DH⊥DC交BC于H,由平面PDC⊥平面ABCD,知OH⊥平面PDC,由EO∥PDC,知OE∥平面PDC,故点E到平面PDC距离就是点O到平面PDC的距离OH,由此能求出三棱锥P-EDC的体积.
解答:(1)证明:设AC∩BD=0,连EO,则EO∥PD,
∵PC⊥平面ABCD,∴EO⊥平面ABCD,
又∵EO?平面ACE,∴平面EDB⊥平面ABCD.…(4分)
(2)解:作DH⊥DC交BC于H,
∵平面PDC⊥平面ABCD,∴OH⊥平面PDC,
又∵EO∥PDC,EO?平面PDC,PC?平面PDC,
∴OE∥平面PDC,
∴点E到平面PDC距离就是点O到平面PDC的距离OH.…(8分)
在△HOD中,OH=
3
2
asin30°
=
3
4
a

设点E到平面PDC的距离为d,
d=
3
4
a
S△PBC=
1
2
a2

VP-EDC=VE-PDC=
1
3
dS△PDC=
3
24
a3
.…(12分)
点评:本题考查平面与平面垂直的证明,考查三棱锥的体积的求法.解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
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