题目内容
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠BCD=120°,BC⊥AB,CD⊥AD,BC=CD=PA=a,
(Ⅰ)求证:平面PBD⊥平面PAC.
(Ⅱ)求四棱锥P-ABCD的体积V.
(Ⅰ)求证:平面PBD⊥平面PAC.
(Ⅱ)求四棱锥P-ABCD的体积V.
分析:(Ⅰ)连接AC,证明AC⊥BD,证明PA⊥BD,PA∩AC=A,推出BD⊥平面PAC,然后证明平面PBD⊥平面PAC
(Ⅱ)依题意得说明ABD是边长为
的正三角形,然后直接求解,四棱锥P-ABCD的体积V.
(Ⅱ)依题意得说明ABD是边长为
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解答:解:(Ⅰ)连接AC,∵BC=CD,AB=AD,
∴AC⊥BD,
又PA⊥平面ABCD,且BD?平面ABCD
∴PA⊥BD
又PA∩AC=A,
∴BD⊥平面PAC
又BD?平面BDP
∴平面PBD⊥平面PAC
(Ⅱ)依题意得∠CBD=∠CDB=30°,
又BC⊥AB,CD⊥AD,
所以∠DBA=∠BDA=60°
又BC=CD=a,
∴BD=
a
∴△ABD是边长为
a的正三角形
∴V=
(S△BCD+S△ABD)•PA=
(
•BC•CD•sin1200+
•AD•AB•sin600)•a
=
(
a2+
×3a2)•a=
a3
∴AC⊥BD,
又PA⊥平面ABCD,且BD?平面ABCD
∴PA⊥BD
又PA∩AC=A,
∴BD⊥平面PAC
又BD?平面BDP
∴平面PBD⊥平面PAC
(Ⅱ)依题意得∠CBD=∠CDB=30°,
又BC⊥AB,CD⊥AD,
所以∠DBA=∠BDA=60°
又BC=CD=a,
∴BD=
3 |
∴△ABD是边长为
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∴V=
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=
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点评:本题考查直线与平面垂直,平面与平面垂直的证明,几何体的体积的求法,考查空间想象能力,计算能力.
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