Question

某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率P与每日和生产产品件数x（x∈N^*）间的关系为P=

4200-x2

4500

，每生产一件正品盈利4000元，每出现一件次品亏损2000元．（注：正品率=产品的正品件数÷产品总件数×100%）．
（Ⅰ）将日利润y（元）表示成日产量x（件）的函数；
（Ⅱ）求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据题中正品率和盈利情况可得到关系式y=4000•

4200-x2

4500

•x-2000（1-

4200-x2

4500

）•x，整理后可得到答案．
（2）对（1）中函数进行求导数，令导函数等于0求出x的值，并求出y′＞0、y′＜0的x的范围，进而可得到答案．

解答：解：（1）y=4000•

4200-x2

4500

•x-2000（1-

4200-x2

4500

）•x=3600x-

4

3

x3
∴所求的函数关系是y=-

4

3

x3+3600x（x∈N^*，1≤x≤40）．
（Ⅱ）由上知，y′=3600-4x²，令y′=0，解得x=30．
∴当1≤x＜30时，y′＞0；当30＜x≤40时，y′＜0．
∴函数y=-

4

3

x3+3600x（x∈N^*，1≤x≤40）在[1，30）上是单调递增函数，在（30，40]上是单调递减函数．
∴当x=30时，函数y-

4

3

x3+3600x（x∈N^*，1≤x≤40）取最大值，最大值为-

4

3

×30³+3600×30=72000（元）．
∴该厂的日产量为30件时，日利润最大，其最大值为72000元

点评：本题主要考查根据已知条件列函数关系式、根据导数的正负判断函数的单调性问题．属基础题．