Question

已知椭圆的焦点为，点是椭圆上的一点，与轴的交点恰为的中点， .
（1）求椭圆的方程；
（2）若点为椭圆的右顶点，过焦点的直线与椭圆交于不同的两点,求面积的取值范围.

Answer 1

（1）（2）

试题分析：（1）根据已知分析可得点横坐标为1，纵坐标为,，即点。法一：将代入椭圆方程，结合且，解方程组可得的值。法二：根据椭圆的定义求点到两焦点的距离的和即为，再根据关系式求得。（2）设过点的直线的斜率为,显然（注意讨论直线斜率存在与否）。当直线的斜率不存在时，直线方程为，将代入椭圆方程可得的纵坐标，从而可得，根据椭圆图像的对称性可知，因此可得。当直线斜率存在时设直线的方程为，将直线与椭圆方程联立，消去（或）得关于的一元二次方程，从而可得根与系数的关系。根据弦长公式求，再用点到线的距离公式求点到直线的距离，所以。最后根据基本不等式求其范围即可。
解：（1）因为为的中点，为的中点，，
所以，且.                          1分
所以.
因为，
所以.                               2分
因为,                              3分
所以.
所以椭圆的方程为.                               4分
（2）设过点的直线的斜率为,显然.
（1）当不存在时，直线的方程为，                      
所以.
因为，
所以.                                 5分
（2）当存在时，设直线的方程为.
由,消并整理得:
.                     6分
设,则
，.                            7分
因为


，                                       8分
又因为点到直线的距离，          9分
所以




                                10分
设，则


             
.                          11分
因为,
所以.
因为函数在上单调递增，        12分
所以.
所以.                      
所以.
所以.
所以
所以.                                      13分
综合（1）（2）可知 .                       14分