Question

已知椭圆的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于直线l₁，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（3）设C₂与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C₂上，且满足，求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由离心率为，求出a，b，c的关系，再利用直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切，求出b即可求椭圆C₁的方程；
（2）把题中条件转化为动点M的轨迹是以l₁：x=-1为准线，F₂为焦点的抛物线，即可求点M的轨迹C₂的方程；
（3）先设出点R，S的坐标，利用求出点R，S的坐标之间的关系，再用点R，S的坐标表示出，利用函数求最值的方法即可求的取值范围．
解答：解：（1）由得2a²=3b²，又由直线l：y=x+2与圆x²+y²=b²相切，
得，，∴椭圆C₁的方程为：．（4分）
（2）由MP=MF₂得动点M的轨迹是以l₁：x=-1为准线，
F₂为焦点的抛物线，∴点M的轨迹C₂的方程为y²=4x．（8分）
（3）Q（0，0），设，
∴，
由，得，∵y₁≠y₂
∴化简得，（10分）
∴（当且仅当y₁=±4时等号成立），
∵，
又∵y₂²≥64，∴当y₂²=64，即y₂=±8时，
∴的取值范围是．（13分）
点评：本题是对圆与椭圆知识的综合考查．当直线与圆相切时，可以利用圆心到直线的距离等于半径求解．，也可以把直线与圆的方程联立让对应方程的判别式为0求解．