Question

【题目】已知函数，，为的导函数.

（1）讨论的单调性，设的最小值为，并求证：

（2）若有三个零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）先对求导,设,再对求导,即可判断的单调性且可求得的最小值,设,利用导函数求得的最小值,即可求解；

（2）由（1）,若,则,即在上单调递增,不可能有3个零点,则,由（1）可知的单调性,且,,由零点存在性定理可得,存在,使得,存在,使得,即可判断的单调性,再利用零点存在性定理可得存在,使得,若满足题意,则使得,进而求解即可.

（1）,

令,

所以,

令,解得,

所以当时,,所以单调递减,即单调递减；

当时,,所以单调递增,即单调递增；

所以的最小值,

令,

则,

令,解得,

所以单调递增；

单调递减,

所及,命题得证.

（2）由（1）若的最小值,

即时,,此时在上单调递增,

因为在上单调递增,不可能有三个零点,

所以,此时,

又由(1)可知,单调递减；

,单调递增,其中,

且,,所以存在,使得,

存在,使得,

所以在区间上单调递增,在区间上单调递减,在区间上单调递增,

其中在中,有,存在,使得,

在区间上要有两个零点,必须①,

其中使得成立,即②,代入①式,

得,解得,

由②得,令,,

所以在时单调递增,所以,

所以.