Question

【题目】已知椭圆，直线交椭圆于两点，为坐标原点.

（1）若直线过椭圆的右焦点，求的面积；

（2）若，试问椭圆上是否存在点，使得四边形为平行四边形?若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，

【解析】

（1）根据直线过右焦点求出直线方程，联立直线与椭圆方程，求出或，利用面积公式即可得解；

（2）联立直线与椭圆方程，根据四边形为平行四边形，且.

又，，求出点的坐标为，代入椭圆方程，结合韦达定理计算求解.

（1）设.

直线过椭圆的右焦点，则，

直线的方程为.

联立得，

解得或.

的面积为.

（2）联立得，

，解得.

由韦达定理得，.

.

四边形为平行四边形，

，且.

又，，

点的坐标为.

又点在椭圆上，即，

整理得.

又，，即，

，即.

，

，

综上所述，的取值范围是.