Question

15．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{2}$，过右焦点F作渐近线的垂线，垂足为A，若△OFA的面积为2，其中O为坐标原点，则双曲线的焦距为（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 2$\sqrt{10}$
• D． 2$\sqrt{15}$

Answer 1

分析 运用离心率公式，求得渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得F到渐近线的距离为b，由勾股定理可得|OA|=a，运用三角形的面积公式，结合a，b，c的关系，解得c，即可得到焦距为2c的值．

解答 解：由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
设F（c，0），渐近线为y=$\frac{b}{a}$x，
可得F到渐近线的距离为d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b，
由勾股定理可得|OA|=$\sqrt{|OF{|}^{2}-|AF{|}^{2}}$=$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$=a，
由题意可得$\frac{1}{2}$ab=2，
又a²+b²=c²，解得c=$\sqrt{10}$，
可得双曲线的焦距为2$\sqrt{10}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的焦距的求法，注意运用渐近线方程和点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．