Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的短轴长为2，离心率为．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若直线l与椭圆E相切于点P（点P在第一象限内），与圆相交于点A，B，且，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）直接根据短轴和离心率的值，求出，即可得椭圆的方程；

（2）由题意可设直线l的方程为，与椭圆联立并消去y得，根据三角形相似可得，再利用点的坐标标可得的关系，从而得到直线的方程.

（1）设椭圆E的焦距为2c，

则，解得，所以椭圆E的标准方程为．

（2）由题意可设直线l的方程为，

与椭圆联立并消去y得．

因为直线l与椭圆E相切，所以，整理得．

设点P的坐标为，则，．

设直线OP交圆于点C，D，则．

又因为，所以，得，

与联立解得（正值舍去），（负值舍去）

所以直线l的方程为．