题目内容
【题目】如图，真四棱柱
的底面是菱形，
，
，
，E，M，N分别是BC，
，
的中点.
（1）证明：
面
；
（2）求平面DMN与平面所成锐角的正切值.
【答案】（1）证明见解析.（2）
【解析】
（1）由余弦定理可得
，进而可得
，由正棱柱的几何特征可得
，由线面垂直的判定即可得解；
（2）连接ME，由题意可得四边形DNME为平行四边形，DE即为平面DMN与平面
的交线，由线面垂直的判定可得
面
，进而可得
即为平面DMN与平面所成的平面角，即可得解.
（1）证明：∵在菱形ABCD中，
，
，且E为BC中点，
∴
，∴
即，
又棱柱
是直四棱柱，∴
平面
，∴，
又
平面，
平面，
,
∴
面；
（2）连接ME，
∵E，M，N分别是BC，
，
的中点，
∴
且
，
∴
且
，∴四边形DNME为平行四边形，
从而可知：DE即为面DMN与面的交线，
∵
，
，
，∴面，
∴
且，
则即为平面DMN与平面所成的平面角，
在
中，
，
故平面DMN与平面所成锐角的正切值为.
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