Question

双曲线(a＞1,b＞0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和S≥c,求双曲线的离心率e的取值范围.

Answer 1

解:直线l的方程为,

即bx+ay-ab=0.

由点到直线的距离公式,且a＞1,得到点(1,0)到直线l的距离d₁=.

同理得到点(-1,0)到直线l的距离d₂=.

S=d₁+d₂=

由S≥c,得c,即5≥2c²,

于是得5≥2e²,即4e⁴-25e²+25≤0.

解不等式,得≤e²≤5,

由于e＞1,所以e的取值范围是≤e≤.