Question

（本题12分）如图，正三棱柱ABCD—A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB=1。

（1）求证：A₁C//平面AB₁D；

（2）求二面角B—AB₁—D的大小；                  

（3）求点c到平面AB₁D的距离。                 

Answer 1

（本题1２分）解法一：（1）证明：

连接A₁B，设A₁B₁∩AB₁=E，连接DE，

∵ABC—A₁B₁C₁是正三棱柱，且AA₁=AB，

∴四边形A₁ABB₁是正方形，

∴E是A₁B的中点，

又D是BC的中点，

∴DE//A₁C……………………3分

∵DE平面AB₁D，A₁C平面AB₁D，

∴A₁C//不在AB₁D…………………………4分

（2）解：在面ABC内作DF⊥AB于点F，在面A₁ABB₁内作FG⊥AB₁于点G，连接

DG。

∵平面A₁ABB₁⊥平面ABC，

∴DF⊥平面A₁ABB₁，

∴FG是DG在平面A₁ABB上的射影，

∵FG⊥AB₁，

∴DG⊥AB₂

∴∠FGD是二面角B—AB₁—D的平面角……………………7分

设A₁A=AB=1，在正△ABC中，

在△ABE中，

在Rt△DFG中，，

所以，二面角B—AB₁—D的大小为……9分

（3）∵ 平面B₁BCC₁⊥ABC，且AD⊥BC，

∴AD⊥平面B₁BCC₁，又AD平面AB₁D，

∴平面B₁BCC₁⊥平面AB₁D

在平面B₁BCC₁内作CH⊥B₁D交B₁D的延长线于点H，

则CH的长度就是点C到平面AB₁D的距离，。……………………12分

由∽

即点C到平面AB₁D的距离是……………………14分

解法二：

建立空间直角坐标系D—xyz，如图，

（1）证明

连接A₁B，设A₁B∩AB₁­=E，连接DE，

设A₁A=AB=1，

则

…………………………3分

……………………4分

（2）解：

设是平面AB₁D的法向量，则

故

同理，可求得平面AB₁B的法向量是………………6分

设二面角B—AB₁—D的大小为，

，

………………8分

（3）解由（2）得平面AB₁D的法向量为

取其单位法向量

∴点C到平面AB₁D的距离………………12分