Question

7．正项等比数列{a_n}中，a₂₀₁₆=a₂₀₁₅+2a₂₀₁₄，若a_ma_n=16a₁²，则$\frac{4}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值等于（　　）

• A． 1
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{5}{3}$
• D． $\frac{13}{6}$

Answer 1

分析 设正项等比数列{a_n}的公比为q，（q＞0），运用等比数列的通项公式，解方程可得q=2，由条件可得m+n=6，运用乘1法和基本不等式，计算即可得到所求最小值．

解答 解：设正项等比数列{a_n}的公比为q，（q＞0），
由a₂₀₁₆=a₂₀₁₅+2a₂₀₁₄，得q²=q+2，
解得q=2或q=-1（舍去）．
又因为a_ma_n=16a₁²，即a₁²•2^m+n-2=16a₁²，
所以m+n=6．
因此$\frac{4}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{6}（{\frac{4}{m}+\frac{1}{n}}）（{m+n}）$
=$\frac{1}{6}（{5+\frac{4n}{m}+\frac{m}{n}}）$≥$\frac{1}{6}$（5+2$\sqrt{\frac{4n}{m}•\frac{m}{n}}$）=$\frac{3}{2}$，
当且仅当m=4，n=2时，等号成立．
故选：B．

点评 本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，考查等比数列的通项公式，考查运算能力，属于中档题．