Question

2．设函数f（x）=x²-ax+1（a∈R）
（Ⅰ）若对任意x₁∈[1，2]，任意x₂∈[3，6]，都有f（x₁）≥f（x₂），求a的取值范围；
（Ⅱ）若不等式|f（x）|≥2x+1在[1，2]上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可将问题转化为最值问题，由对称轴分类讨论即可．
（Ⅱ）去绝对值，分离参数，转换为恒成立问题．

解答 解：（I） 由题意可知，对任意x₁∈[1，2]，任意x₂∈[3，6]，总有f（x₁）≥f（x₂），只需f（x₁）_min≥f（x₂）_max
f（x）=x²+ax+b的对称轴是$x=\frac{a}{2}$
①当$\frac{a}{2}≥\frac{3+6}{2}$，即a≥9时，f（x₁）_min=f（2）≥f（3）=f（x₂）_max，显然成立
②当$2≤\frac{a}{2}＜\frac{3+6}{2}$，即4≤a＜9时，f（x₁）_min=f（2），f（x₂）_max=f（6），要使得f（x₁）≥f（x₂），则需$\frac{a}{2}-2≥6-\frac{a}{2}$，即a≥8，故8≤a＜9
③当$\frac{a}{2}＜2$时，即a＜4时，显然f（2）＜f（3）不合题意，舍
综上所述，a≥8．
（II）|x²-ax+1|≥2x+1，即x²-ax+1≥2x+1或x²-ax+1≤-2x-1
即ax≤x²-2x或ax≥x²+2x+2，又∵x∈[1，2]，故$a≤x-2或a≥x+\frac{2}{x}+2$
∵恒成立，∴$a≤{（x-2）_{min}}或a≥{（x+\frac{2}{x}+2）_{max}}$，
故a≤-1或a≥5

点评 本题考查最值问题，由对称轴分类讨论．分离参数，转换为恒成立问题．