Question

已知函数f(x)＝ax²＋1(a>0)，g(x)＝x³＋bx.

(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；

(2)当a²＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．

Answer 1

解析　(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x²＋b.

因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)．

即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b.

解得a＝3，b＝3.

(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)．当b＝a²时，

h(x)＝x³＋ax²＋a²x＋1，

h′(x)＝3x²＋2ax＋a².

令h′(x)＝0，得x₁＝－，x₂＝－.

当a>0时，h(x)与h′(x)的情况如下：

x		－		－
h′(x)	＋	0	－	0	＋
h(x)					

所以函数h(x)的单调递增区间为和；单调递减区间为.

当－≥－1，即0<a≤2时，

函数h(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h(－1)＝a－a².

当－<－1，且－≥－1，即2<a≤6时，

函数h(x)在区间内单调递增，在区间上单调递减，h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h＝1.

当－<－1，即a>6时，函数h(x)在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间上单调递增．

又因h(－)－h(－1)＝1－a＋a²＝²>1，

所以h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h(－)＝1.