题目内容

已知函数f（x）是在（0，+∞）上每一点处均可导的函数，若xf '（x）＞f（x）在
（0，+∞）上恒成立．
（Ⅰ）①求证：函数在（0，+∞）上是增函数；②当x1＞0，x2＞0时，证明：f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；
（Ⅱ）已知不等式ln（x+1）＜x在x＞﹣1且x≠0时恒成立，求证：…．
解（Ⅰ）①∵，∴
∵xf '（x）＞f（x），∴g '（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
从而有在（0，+∞）上是增函数．
②由①知在（0，+∞）上是增函数，
当x1＞0，x2＞0时，有，
于是有：，
两式相加得：f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）
（Ⅱ）由（Ⅰ）②可知：f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2），（x1＞0，x2＞0）恒成立
由数学归纳法可知：xi＞0（i=1，2，3，…，n）时，
有：f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（xn）＜f（x1+x2+x3+…xn）（n≥2）恒成立
设f（x）=xlnx，则xi＞0（i=1，2，3，…，n）时，
x1lnx1+x2lnx2+…+xnlnxn＜（x1+x2+…+xn）ln（x1+x2+…+xn）（n≥2）（*）恒成立
令，记
又，
又，且ln（x+1）＜x
∴（x1+x2+…+xn）ln（x1+x2+…+xn）＜（x1+x2+…+xn）ln（1﹣）
＜﹣（x1+x2+…+xn）＜﹣（﹣）=﹣  （**）
将（**）代入（*）中，可知：﹣（）
于是
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）是在（0，+∞）上每一点均可导的函数，若xf/（x）＞f（x）在x＞0时恒成立．
（1）求证：函数g(x)=
f(x)x
在（0，+∞）上是增函数；
（2）求证：当x1＞0，x2＞0时，有f（x1+x2）＞f（x1）+f（x2）；
（3）请将（2）问推广到一般情况，并证明你的结论．
已知函数f（x）是在（0，+∞）上每一点处可导的函数，若xf′（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立．
（Ⅰ）求证：函数g（x）=
f(x)
x
在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）当x1＞0，x2＞0时，证明：f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；
（Ⅲ）已知不等式ln（1+x）＜x在x＞-1且x≠0时恒成立，证明：
1
22
ln22+
1
32
ln32+
1
42
ln42+…+
1
(n+1)2
ln（n+1）2＞
n
2(n+1)(n+2)
（n∈N+）．
已知函数f（x）是在（0，+∞）上每一点处均可导的函数，若xf′（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立．
（Ⅰ）①求证：函数g(x)=
f(x)
x
在（0，+∞）上是增函数；
②当x1＞0，x2＞0时，证明：f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；
（Ⅱ）已知不等式ln（x+1）＜x在x＞-1且x≠0时恒成立，求证：
1
22
ln22+
1
32
ln32+
1
42
ln42+…+
1
(n+1)2
ln(n+1)2＞
n
2(n+1)(n+2)
，(n∈N*)．
已知函数f（x）是在（0，+∞）上每一点处可导的函数，若xf′（x）-f（x）＞0在x＞0上恒成立，且f（x）=xax（a＞0，a≠1，x＞0），
7f(1)
3
-
f(2)
2
=
2
3
，若数列{
n
f(n)
}（n∈N）的前n项和为Sn，则
lim
n→∞
Sn=（　　）
A、
1
2
B、1
C、-2
D、-
3
2
已知函数f（x）是在（0，+∞）上每一点均可导的函数，若xf/（x）＞f（x）在x＞0时恒成立．
（1）求证：函数在（0，+∞）上是增函数；
（2）求证：当x1＞0，x2＞0时，有f（x1+x2）＞f（x1）+f（x2）；
（3）请将（2）问推广到一般情况，并证明你的结论．

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