Question

已知函数f（x）是在（0，+∞）上每一点均可导的函数，若xf^/（x）＞f（x）在x＞0时恒成立．
（1）求证：函数g(x)=

f(x)

x

在（0，+∞）上是增函数；
（2）求证：当x₁＞0，x₂＞0时，有f（x₁+x₂）＞f（x₁）+f（x₂）；
（3）请将（2）问推广到一般情况，并证明你的结论．

Answer 1

分析：①利用商的导数法则求g(x)=

f(x)

x

的导数，由已知知其大于0，所以单增．
②利用①的结论及x₁+x₂＞x₂，和x₁+x₂＞x₁，证出不等式
③与正整数有关的命题用数学归纳法证

解答：解：（1）由g(x)=

f(x)

x

得g/(x)=

xf/(x)-f(x)

x2

，因为xf^/（x）＞f（x），
所以g^/（x）＞0在x＞0时恒成立，所以函数g(x)=

f(x)

x

在（0，+∞）上是增函数．
（2）由（1）知函数g(x)=

f(x)

x

在（0，+∞）上是增函数，所以当x₁＞0，x₂＞0时，
有

f(x1+x2)

x1+x2

＞

f(x1)

x1

，

f(x1+x2)

x1+x2

＞

f(x2)

x2

成立，（5分）
从而f(x1)＜

x1

x1+x2

f(x1+x2)，f(x2)＜

x2

x1+x2

f(x1+x2)，
两式相加得f（x₁+x₂）＞f（x₁）+f（x₂）．
（3）推广到一般情况为：
若x_i＞0（i=1，2，3n），则f（x₁+x₂+…+x_n）＞f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_n），n∈N，n≥2．
以下用数学归纳法证明
（1）当n=2时，有（2）已证成立，
（2）假设当n=k（k≥2）时成立，即f（x₁+x₂+…+x_k）＞f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_k）
那么当n=k+1时，f（x₁+x₂+…+x_k+x_k+1）＞f（x₁+x₂+…+x_k）+f（x_k+1）＞f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_k）+f（x_k+1）
成立，即当n=k+1时也成立．
有（1）（2）可知不等式对一切n∈N，n≥2时都成立．（12分）

点评：本题考查导数与单调性；利用当调性及数学归纳法证不等式