Question

已知函数f（x）是在（0，+∞）上每一点处均可导的函数，若xf′（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立．
（Ⅰ）①求证：函数g(x)=

f(x)

x

在（0，+∞）上是增函数；
②当x₁＞0，x₂＞0时，证明：f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）；
（Ⅱ）已知不等式ln（x+1）＜x在x＞-1且x≠0时恒成立，求证：

1

22

ln22+

1

32

ln32+

1

42

ln42+…+

1

(n+1)2

ln(n+1)2＞

n

2(n+1)(n+2)

，(n∈N*)．

Answer 1

分析：（I）①先利用导数的四则运算，求函数g（x）的导函数，结合已知证明导函数g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，即可证明其在（0，+∞）上是增函数；②利用①的结论，且x₁＞0，x₂＞0时，x₁+x₂＞x₁，且x₁+x₂＞x₂，得

f(x1+x2)

x1+x2

＞

f(x1)

x1

，

f(x1+x2)

x1+x2

＞

f(x2)

x2

，从中解出f（x₁）、f（x₂）即可证得结论；（II）构造一个符合条件的函数f（x）=xlnx，利用（I）的结论，得x₁lnx₁+x₂lnx₂+…+x_nlnx_n＜（x₁+x₂+…+x_n）ln（x₁+x₂+…+x_n）（n≥2），令xn=

1

(n+1)2

，再将Sn=x1+x2+…xn=

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

放缩，即可证得所证不等式

解答：解（Ⅰ）①∵g(x)=

f(x)

x

，∴g/(x)=

f/(x)•x-f(x)

x2

∵xf′（x）＞f（x），∴g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
从而有g(x)=

f(x)

x

在（0，+∞）上是增函数．
②由①知g(x)=

f(x)

x

在（0，+∞）上是增函数，当x₁＞0，x₂＞0时，有

f(x1+x2)

x1+x2

＞

f(x1)

x1

，

f(x1+x2)

x1+x2

＞

f(x2)

x2

，
于是有：f(x1)＜

x1

x1+x2

f(x1+x2)，f(x2)＜

x2

x1+x2

f(x1+x2)，
两式相加得：f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）
（Ⅱ）由（Ⅰ）②可知：f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂），（x₁＞0，x₂＞0）恒成立
由数学归纳法可知：x_i＞0（i=1，2，3，…，n）时，有：f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+…+f（x_n）＜f（x₁+x₂+x₃+…x_n）（n≥2）恒成立
设f（x）=xlnx，则，则x_i＞0（i=1，2，3，…，n）时，x₁lnx₁+x₂lnx₂+…+x_nlnx_n＜（x₁+x₂+…+x_n）ln（x₁+x₂+…+x_n）（n≥2）（*）恒成立
令xn=

1

(n+1)2

，记Sn=x1+x2+…xn=

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

又Sn＜

1

1•2

+

1

2•3

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

n+1

，
又Sn＞

1

2•3

+…+

1

(n+1)(n+2)

=

1

2

-

1

n+2

，且ln（x+1）＜x
∴（x₁+x₂+…+x_n）ln（x₁+x₂+…+x_n）＜（x₁+x₂+…+x_n）ln（1-

1

n+1

）＜-

1

n+1

（x₁+x₂+…+x_n）＜-

1

n+1

（

1

2

-

1

n+2

）=-

n

2(n+1)(n+2)

  （**）
将（**）代入（*）中，可知：-（

1

22

ln22+

1

32

ln32+

1

42

ln42+…+

1

(n+1)2

ln(n+1)2）＜-

n

2(n+1)(n+2)

，(n∈N*)
于是

1

22

ln22+

1

32

ln32+

1

42

ln42+…+

1

(n+1)2

ln(n+1)2＞

n

2(n+1)(n+2)

，(n∈N*)

点评：本题综合考查了导数的四则运算，利用导数证明函数的单调性，利用函数的单调性证明不等式，以及利用函数性质构造数列证明数列不等式的方法，难度较大