Question

已知函数f（x）是在（0，+∞）上每一点处可导的函数，若xf′（x）-f（x）＞0在x＞0上恒成立，且f（x）=xa^x（a＞0，a≠1，x＞0），

7f(1)

3

-

f(2)

2

=

2

3

，若数列{

n

f(n)

}（n∈N）的前n项和为S_n，则

lim

n→∞

S_n=（　　）

• A、

  1

  2

• B、1
• C、-2
• D、-

  3

  2

Answer 1

分析：通过

7f(1)

3

-

f(2)

2

=

2

3

，求出a 的值，利用xf′（x）-f（x）＞0在x＞0上恒成立，判断a的值，然后求出数列的通项公式，求
出S_n，然后求出极限即可．

解答：解：f（x）=xa^x（a＞0，a≠1，x＞0），

7f(1)

3

-

f(2)

2

=

2

3

，所以7a-3a²=2，解得a=2或a=

1

3

，
因为函数f（x）是在（0，+∞）上每一点处可导的函数，若xf′（x）-f（x）＞0在x＞0上恒成立，
所以(

f(x)

x

)′＞0即）a^x是增函数，所以a=2，数列{

n

f(n)

}就是{

1

2n

}，
所以S_n=

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+

1

2n

，因为公比为：

1

2

lim

n→∞

Sn=

1 2

1- 1 2

=1．
故选B．

点评：本题是中档题，考查函数的导数及其应用，注意分式的导函数的应用是本题的关键，注意无穷等比数列公比小于1的数列求和的极限的应用．