Question

19．如果f（x）=$\frac{1}{2}$（m-2）x²+（n-8）x+1（m＞2，n＞0）在[$\frac{1}{2}，2$]上单调递减，则$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{6}$
• C． $\frac{3+2\sqrt{2}}{12}$
• D． $\frac{3-2\sqrt{2}}{12}$

Answer 1

分析 求出二次函数的对称轴，由题意可得-$\frac{n-8}{m-2}$≥2，即有$\frac{1}{12}$（2m+n）≤1，可得$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$≥$\frac{1}{12}$（2m+n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）=$\frac{1}{12}$（3+$\frac{n}{m}$+$\frac{2m}{n}$），运用基本不等式即可得到最小值．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{2}$（m-2）x²+（n-8）x+1的对称轴为x=-$\frac{n-8}{m-2}$，
由f（x）在[$\frac{1}{2}，2$]上单调递减，可得-$\frac{n-8}{m-2}$≥2，
即有2m+n≤12，即有$\frac{1}{12}$（2m+n）≤1，
可得$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$≥$\frac{1}{12}$（2m+n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）=$\frac{1}{12}$（3+$\frac{n}{m}$+$\frac{2m}{n}$）
≥$\frac{1}{12}$（3+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{2m}{n}}$）=$\frac{3+2\sqrt{2}}{12}$．
当且仅当n=$\sqrt{2}$m取得最小值$\frac{3+2\sqrt{2}}{12}$．
故选C．

点评 本题考查函数的单调性的运用，考查函数的最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，属于中档题．