Question

5．在正方形ABCD中，E是AD的中点，点F满足$\overrightarrow{CF}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CD}$，若$\overrightarrow{BD}$=m$\overrightarrow{BE}$+n$\overrightarrow{BF}$（m，n是实数），则m+n=（　　）

• A． $\frac{2}{5}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． 1
• D． $\frac{7}{5}$

Answer 1

分析 由条件，可将$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}$带入$\overrightarrow{BD}=m\overrightarrow{BE}+n\overrightarrow{BF}$，然后进行向量的数乘运算便可得到$\overrightarrow{BD}=（m+\frac{n}{3}）\overrightarrow{BA}+（\frac{m}{2}+n）\overrightarrow{AD}$，而$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}$，这样根据平面向量基本定理便可建立关于m，n的方程组，解出m，n便可得出m+n的值．

解答 解：如图，根据条件：$\overrightarrow{BD}=m（\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}）+n（\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}）$=$（m+\frac{n}{3}）\overrightarrow{BA}+（\frac{m}{2}+n）\overrightarrow{AD}$；
又$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+\frac{n}{3}=1}\\{\frac{m}{2}+n=1}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{4}{5}}\\{n=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$；
∴$m+n=\frac{7}{5}$．
故选：D．

点评 考查向量加法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，平面向量基本定理．