题目内容
在锐角△ABC中，
（Ⅰ）求角A的大小
（Ⅱ）求cos2B+4cosAsinB的取值范围．
【答案】分析：（1）已知等式变形后，利用两角和与差的正弦函数公式求出sin（A-
）的值，根据A的范围求出A的度数即可；
（2）由A的度数求出cosA的值，所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，将cosA的值代入再利用二次函数的性质即可求出范围．
解答：解：（1）由题意：
sinA-cosA=2sin（A-
）=1，即sin（A-
）=
，
∵0＜A＜
，∴-
＜A-
＜
，
∴A-
=
，即A=
；
（2）由（1）知：cosA=
，
∴cos2B+4cosAsinB=1-2sin2B+2sinB=-2（sinB-
）2+
，
∵△ABC为锐角三角形．
∴B+C=
，即C=
-B＜
，
∴
＜B＜
，
∴
＜sinB＜1，
∴1＜cos2B+2sinB＜
，
则cos2B+4cosAsinB的取值范围为（1，
）．
点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，二次函数的性质，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．
）的值，根据A的范围求出A的度数即可；（2）由A的度数求出cosA的值，所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，将cosA的值代入再利用二次函数的性质即可求出范围．
解答：解：（1）由题意：
sinA-cosA=2sin（A-
）=1，即sin（A-
）=
，∵0＜A＜
，∴-
＜A-
＜
，∴A-
=
，即A=
；（2）由（1）知：cosA=
，∴cos2B+4cosAsinB=1-2sin2B+2sinB=-2（sinB-
）2+
，∵△ABC为锐角三角形．
∴B+C=
，即C=
-B＜
，∴
＜B＜
，∴
＜sinB＜1，∴1＜cos2B+2sinB＜
，则cos2B+4cosAsinB的取值范围为（1，
）．点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，二次函数的性质，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．
练习册系列答案
字词句段篇系列答案
相关题目