Question

14．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=20，BC=13，AA₁=12，过点A₁D₁的平面α与棱AB和CD分别交于点E、F，四边形A₁EFD₁为正方形．
（1）在图中请画出这个正方形（注意虚实线，不必写作法），并求AE的长；
（2）问平面α右侧部分是什么几何体，并求其体积．

Answer 1

分析 （1）由长方体的结构特征能求出交线围成的正方形A₁EFD₁，在Rt△A₁AE中，由勾股定理能求出AE的长．
（2）平面α右侧部分的几何体是以A₁EBB₁和为底面的直四棱柱，由棱柱体积公式得该直四棱柱的体积．

解答 解：（1）交线围成的正方形A₁EFD₁如图所示（不分实虚线的酌情给分）…（3分）
∵A₁D₁=A₁E=13，A₁A=12，
在Rt△A₁AE中，
由勾股定理知AE=$\sqrt{{A}_{1}{E}^{2}-A{{A}_{1}}^{2}}$=5．…（6分）
（2）平面α右侧部分的几何体是以A₁EBB₁和为底面的直四棱柱，（棱柱或四棱柱均不扣分）
由棱柱体积公式得该直四棱柱的体积：
V=${S}_{梯形{A}_{1}EB{B}_{1}}×BC$=$\frac{1}{2}×（20+15）×12$×13=2730．
（由体积之差法也不扣分）…．（12分）

点评 本题考查满足条件的正方形的作法，考查线段长的求法，考查几何体的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．