Question

6．为绘制海底地貌图，测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，C，D在同一个铅垂平面内．海底探测仪测得∠BAC=30°，∠DAC=45°，∠ABD=45°，∠DBC=75°，同时测得$AB=\sqrt{3}$海里．
（1）求AD的长度；
（2）求C，D之间的距离．

Answer 1

分析 （1）先求得∠BAD=75°，可得∠ADB=60°，利用条件以及正弦定理求得AD的值．
（2）先求得BC、AB的值，可得△ABC为等腰三角形，可得AC的值，在△ACD中，由余弦定理求得CD的值．

解答 解：（1）如图所示，在△ABD中，
∵∠BAD=∠BAC+∠DAC=30°+45°=75°，
∴∠ADB=60°，
由正弦定理可得，$\frac{AB}{sin∠ADB}=\frac{AD}{sin∠ABD}$，$AD=\frac{{\sqrt{3}sin45°}}{sin60°}=\sqrt{2}$．
（2）∵∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°+75°=120°，∠BAC=∠BCA=30°，
∴$BC=AB=\sqrt{3}$，∴AC=3．
在△ACD中，由余弦定理得，CD²=AC²+AD²-2AC•ADcos∠DAC=5，
即$CD=\sqrt{5}$（海里）…（13分）
答：$AD=\sqrt{2}$，C，D间的距离为$\sqrt{5}$海里．

点评 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．