Question

【题目】已知函数的最大值为（其中为自然对数的底数），是的导函数。

（1）求的值；

（2）任取两个不等的正数，且，若存在正数，使得成立。求证：。

Answer 1

【答案】（1）.（2）见解析.

【解析】

(1)对函数求导，分情况得到函数的单调性，进而求得在处取得最值，进而求解；（2）根据导数的几何意义得到，构造函数，通过换元将等式右边的函数改为，对此函数求导得到函数的单调性进而得证.

（1）由题意得，显然，∵，∴，

令，解得，

①.当时，令，解得；令，解得，

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴在处取得极大值，也是最大值，

∴，解得；

②当时，易知与题意不符，故舍去，

综上所述，；

（2）由（1）知，则，∴，

∴，即，

则

，

设，则，

令，则，

∴函数在上单调递减，

∴，即，又，

∴，即，∴，

同理可证，得证。