Question

四棱锥―中，底面为菱形，其对角线、交于点，是边长为2的等边三角形，中,

       （Ⅰ）求证：平面；

       （Ⅱ）求二面角――的大小。

Answer 1

解：（Ⅰ）为菱形，

         为对角线AC，BD的中点

         为等边三角形，为等腰三角形，

         ∴PO⊥AC，PO⊥BD

         平面

         （Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）知平面，作,垂足为E ，连结,

        由三垂线定理知，是二面角C―PA―B的平面角

         设为等边三角形，

        为等腰直角三角形，

        在中，

      

       二面角C―PA―B的大小为

       解法2（面积射影）：由解法一知，

        取PB中点F，则

       可得

       设二面角C―PA―B的大小为

       由面积射影定理知，

       _∴二面角C―PA―B的大小为

       解法三向量方法：以O为原点，OA、OB、OP所在直线x、y、z轴，建立空间直角坐标系

则O（0，0，0），A（a，0，0），B（0，a，0），P（0，0，a），

 

设平面PAB的一个法向量为n=(x，y，z)，则，

由，得取z=1，得)

又平面PAC的一个法向量为

cos<n,

       _∴二面角C―PA―B的大小为_.