Question

如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点。

（1）若，求证：平面平面；

（2）点在线段上，，试确定的值，使平面；

（3）在（2）的条件下，若平面平面ABCD，且，求二面角的大小。

Answer 1

解析:(1)连BD,四边形ABCD菱形,  ∵AD⊥AB,  ∠BAD=60°

△ABD为正三角形, Q为AD中点, ∴AD⊥BQ

∵PA=PD,Q为AD的中点,AD⊥PQ

又BQ∩PQ=Q  ∴AD⊥平面PQB, AD平面PAD

∴平面PQB⊥平面PAD;  

 (2)当时,平面

下面证明,若平面,连交于

由可得,,

平面,平面,平面平面,

   即:   ; 

(3)由PA=PD=AD=2, Q为AD的中点,则PQ⊥AD.

又平面PAD⊥平面ABCD,所以PQ⊥平面ABCD,

以Q为坐标原点,分别以QA、QB、QP所在的直线为轴,建立如图所示的坐标系,则各点坐标为A(1,0,0),B(),Q(0,0,0),P(0,0,)

设平面MQB的法向量为,可得

,解得

取平面ABCD的法向量

故二面角的大小为60°;