Question

如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点。

（I）点在线段上，，试确定的值，使平面；

（II）在（I）的条件下，若平面平面ABCD，求二面角的大小。

 

Answer 1

【答案】

（1）当时，（2）60°

【解析】 立体几何用向量做比较简单，当证明平面，

只需证明PA与平面的法向量垂直且PA不在面内即可；

二面角的大小，用向量需求得两个面各自的法向量，

然后求两个法向量的夹角。

解： （1）当时，平面

下面证明：若平面，连交于

由可得，，

．．．．．．．．．２分

平面，平面，平面平面，

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４分

   即：   ．．．６分

（2）由PA=PD=AD=2， Q为AD的中点，则PQ⊥AD。．７分

又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，连BD，

四边形ABCD为菱形， 

∵AD=AB，  ∠BAD=60°△ABD为正三角形，

Q为AD中点， ∴AD⊥BQ．．．．．．．．．．．．８分

以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为

轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为

A（1，0，0），B（），Q（0，0，0），P（0，0，）

设平面MQB的法向量为，可得，

取z=1，解得．．．．．．．．．．．１０分

取平面ABCD的法向量设所求二面角为，

则    故二面角的大小为60°