Question

16．f（α）=$\frac{sin（\frac{π}{2}-α）cos（10π-α）tan（-α+3π）}{tan（π+α）sin（\frac{5π}{2}+α）}$．
（1）化简f（α）；
（2）若α∈（0，$\frac{π}{2}$），且sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，求f（α）的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用诱导公式能求出f（α）的值．
（2）由已知得sin（$α-\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinα-\frac{1}{2}cosα$=$\frac{1}{3}$，cos（$α-\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}cosα+\frac{1}{2}sinα$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，由此列方程组求出cosα，从而能求出f（α）．

解答 解：（1）f（α）=$\frac{sin（\frac{π}{2}-α）cos（10π-α）tan（-α+3π）}{tan（π+α）sin（\frac{5π}{2}+α）}$
=$\frac{cosαcosα（-tanα）}{tanαcosα}$
=-cosα．
（2）∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），且sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，
∴sin（$α-\frac{π}{6}$）=$sinαcos\frac{π}{6}-cosαsin\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinα-\frac{1}{2}cosα$=$\frac{1}{3}$，
cos（$α-\frac{π}{6}$）=cos$αcos\frac{π}{6}$+sin$αsin\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}cosα+\frac{1}{2}sinα$=$\sqrt{1-（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}sinα-\frac{1}{2}cosα=\frac{1}{3}}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}cosα+\frac{1}{2}sinα=\frac{2\sqrt{2}}{3}}\end{array}\right.$，解得cosα=$\frac{2\sqrt{6}-1}{6}$．
∴f（α）=-cosα=$\frac{1-2\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查三角函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意诱导公式和正弦、余弦加法定理的合理运用．