Question

如图，A，B，C，H四个小朋友在草坪上游戏，根据游戏规则，A，B，C三人围成一个三角形，B，H，C三人共线，H在B，C两人之间．B，C两人相距20m，A，H两人相距hm，AH与BC垂直．
（1）当h=10时，求A看B，C两人视角的最大值；
（2）当A在某位置时，此时B看A，C视角是C看A，B视角的2倍，求h的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设CH=x，由BC-CH表示出BH，利用锐角三角函数定义表示出tan∠CAH，分两种情况考虑：1°、当1-

20-x

10

•

x

10

=0，即x=10时，此时∠BAH=∠CAH=45°，∠BAC=90°；2°、当1-

20-x

10

•

x

10

≠0，即x≠10时，tan∠BAC=tan（∠BAH+∠CAH），利用两角和与差的正切函数公式化简，将各自的值代入得到其值大于0，由∠BAC为三角形内角，得到∠BAC小于90度，综上，得到A看B，C两人视角的最大值；
（2）利用锐角三角函数定义表示出tan∠ABH与tan∠ACH，得到∠ABH=2∠ACH，利用二倍角的正切函数公式列出关系式，整理后表示出h²，根据x的范围求出h²的范围，即可求出h的范围．

解答：解：（1）设CH=x，∴BH=20-x，x∈（0，20），tan∠CAH=

x

10

，
1°、当1-

20-x

10

•

x

10

=0，即x=10时，此时∠BAH=∠CAH=45°，
∴∠BAC=90°；
2°、当1-

20-x

10

•

x

10

≠0，即x≠10时，tan∠BAC=tan（∠BAH+∠CAH）=

20-x 10 + x 10

1- 20-x 10 • x 10

=

200

(x-10)2

＞0，
∵0＜∠BAC＜180°，∴∠BAC＜90°，
综上：AH=BH=10时，最大视角是90°；
（2）∵tan∠ABH=

h

20-x

，tan∠ACH=

h

x

，
∴tan∠ABH=tan2∠ACH，
∴

h

20-x

=

2• h x

1-( h x )2

，即h²=3x²-80x+400=（3x-20）（x-20），
∵x∈（0，20）时，h²∈（0，400），
∴h∈（0，20）．

点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，二倍角的正切函数公式，锐角三角函数定义，利用了分类讨论的思想，熟练掌握公式是解本题的关键．