题目内容
7．已知数列{an}、{bn}都是项数相同的等比数列，判断下列数列是等比数列是①②③⑦⑧
．①{an•bn}；②{an2}；③{an•an+1}；④{k•an}；⑤{an+bn}；⑥{an+an+1}；⑦{$\frac{1}{{a}_{n}}$}；⑧{$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$}；⑨{an+2}；
{an+2}．
分析 根据等比数列的定义分别进行验证即可．
解答 解：设数列{an}、{bn}的公比分别为p，q，
则①当n≥2时，$\frac{{a}_{n}•{b}_{n}}{{a}_{n-1}•{b}_{n-1}}$=$（\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}）•（\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}）$=pq为常数，
故数列{an•bn}为等比数列；
②当n≥2时，$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{{a}_{n-1}}^{2}}$=$（\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}）^{2}$=p2为常数，
故{an2}为等比数列；
③当n≥2时，$\frac{{a}_{n}•{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}•{a}_{n}}={p}^{2}$为常数，
故数列{an•an+1}为等比数列；
④若k=0，则{k•an}不是等比数列，
若k≠0，则{k•an}是等比数列；
⑤当p≠q时，数列{an+bn}不是等比数列；
⑥若an=（-1）n，满足数列{an}是等比数列，但an+an+1=0．则数列{an+an+1}不一定是等比数列；
⑦{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是公比为$\frac{1}{p}$的等比数列，
⑧{$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$}是公比$\frac{p}{q}$的等比数列；
⑨{an+2}不是等比数列；{an+2}是公比为p的等比数列，
故答案为：①②③⑦⑧
点评 本题主要考查等比数列的判断，根据等比数列的定义和性质是解决本题的关键．
练习册系列答案
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