Question

18．已知数列{a_n}满足：a₁=2，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2n}{n-1}$（n≥2，n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用“累乘求积”即可得出；
（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=2，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2n}{n-1}$（n≥2，n∈N^*）．
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$$•\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•{a}_{1}$
=$\frac{2n}{n-1}•\frac{2（n-1）}{n-2}$•…•$\frac{2×2}{1}×2$
=n•2ⁿ（n≥2），
当n=1时，上式也成立．
∴a_n=n•2ⁿ．
（2）数列{a_n}的前n项和S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2S_n=2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
∴$-{S}_{n}=2+{2}^{2}+{2}^{3}$+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n×2ⁿ⁺¹=（1-n）×2ⁿ⁺¹-2，
∴S_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查了“累乘求积”方法、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．