Question

15．设函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）满足f（x+2φ）=f（2φ-x），且对任意a∈R，在区间（a，a+2π]上f（x）有且只有一个最大值，则f（x）的一个递减区间是（　　）

• A． [-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]
• B． [-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]
• C． [$\frac{2π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]
• D． [$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]

Answer 1

分析 由条件求出ω、φ的值，可得函数的解析式，再利用余弦函数的单调性求得函数的减区间，从而得出结论．

解答 解：∵对任意a∈R，在区间（a，a+2π]上f（x）有且只有一个最大值，且函数的最小正周期为2π，
故有$\frac{2π}{ω}$=2π，∴ω=1．
∵f（x+2φ）=f（2φ-x），∴函数f（x）的图象关于直线x=2φ对称，∴1×2φ+φ=kπ，k∈z，
即φ=$\frac{kπ}{3}$，结合0＜φ＜$\frac{π}{2}$，可得φ=$\frac{π}{3}$，故f（x）=cos（x+$\frac{π}{3}$）．
令2kπ≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，求得2kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，故函数的减区间为[2kπ-$\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈z．
故f（x）的一个递减区间是[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
故选：B．

点评 本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于基础题．