Question

【题目】如图，四棱锥中，，//，，为正三角形. 若，且与底面所成角的正切值为.

（1）证明：平面平面；

（2）是线段上一点，记（），是否存在实数，使二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

证法一：先计算出，结合已知得，由勾股定理得，又，可以证得平面，平面平面

证法二：设在平面内的射影为，连接，结合已知条件得，可求得，，四边形是正方形，即可证得垂直关系

，，两两垂直，以它们所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量，继而求出的值

（1）证法一：，且，，

又为正三角形，所以，

又，，所以，

又，//，，，

所以平面，又因为平面，

所以平面平面.

证法二： 设在平面内的射影为，连接,

则即为在平面内的射影，故即为

与底面所成的角，因为,所以

而，，所以，

又为正三角形，所以,所以

由，，得，所以 ，从而是正方形，

由，得：平面，于是平面平面.

（2）由（1）可知，,,两两垂直，以它们所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则,,,,,

由可得，所以，,,

设平面的法向量为，

则，即，令，得，，

所以，显然，是平面的法向量.

设二面角为，

则，

依题意有，解得.