Question

{a_n}为等比数列，公比大于1，S_n是前n项的和，S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列，{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列．
（1）求a_n
（2）数列{

1

bn•bn+1

}前n项的和为Tn，求使Tn＞

1000

2013

成立的n的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用等比数列的通项公式及等差中项，列出关于首项与公比的方程组，求出首项、公比代入通项公式，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）根据等差数列的通项公式，求出数列{b_n}的通项公式，再利用裂项法，求出{

1

bn•bn+1

}的前n项和T_n，根据不等式T_n＞

1000

2013

，求解即可得到答案．

解答：解：（1）∵{a_n}为等比数列，则首项为a₁，公比设为q，
∵S₃=7，则a₁+a₂+a₃=7，即a₁（1+q+q²）=7，①
∵a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列，则2×3a₂=a₁+3+a₃+4，
∴6a₁q=a₁+a₁q²+7，②
根据①②，解得a₁=1，q=2，
∴a_n=2^n-1；
（2）∵{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴b_n=2n-1，
∴

1

bn•bn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

）+

1

2

（

1

3

-

1

5

）+…+

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

，
∵T_n＞

1000

2013

，即

n

2n+1

＞

1000

2013

，
∴n＞

1000

13

，又n∈N⁺，
∴n的最小值为77，
故不等式T_n＞

1000

2013

成立的n的最小值为77．

点评：本题考查了等差与等比数列的通项公式，等差与等比数列的综合应用．同时考查了数列的求和，常见的数列求和的方法有：分组求和法，裂项法，错位相减法，倒序相加法．要根据具体的通项公式的特点进行判断该选用什么方法进行求和．属于中档题．