Question

已知函数f（x）=3x²+1，g（x）=2x，数列{a_n}满足对于一切n∈N^*有a_n＞0，且f(an+1)-f(an)=g(an+1+

3

2

)．数列{b_n}满足bn=logana，设k，l∈N*，bk=

1

1+3l

，bl=

1

1+3k

．
（1）求证：数列{a_n}为等比数列，并指出公比；
（2）若k+l=9，求数列{b_n}的通项公式．
（3）若k+l=M₀（M₀为常数），求数列{a_n}从第几项起，后面的项都满足a_n＞1．

Answer 1

分析：（1）通过计算f（a_n+1）-f（a_n）=g（a_n+1+

3

2

），结合已知条件可得：6a_n=2a_n+1，从而得出数列{a_n}为公比为3的等比数列．
（2）由对数的运算性质，得

1

bn+1

-

1

bn

=loga

an+1

an

=loga 3，所以数列{

1

bn

}是以

1

b1

为首项，公差等于log_a3的等差数列；再利用等差数列的通项与性质，即可算出数列{b_n}的通项公式．
（3）由k+l=M₀得出初始值：

1

b1

=3M0-2，由等差数列的通项公式得出

1

bn

=3M0-3n+1，假设第m项后有a_n＞1且第m项后

1

bn

＜0，得出m满足M0-

2

3

＜m＜M0+

1

3

，此时可得当m=M₀故数列{a_n}从M₀+1项起满足a_n＞1．

解答：解：（1）∵f(an+1)-f(an)=g(an+1+

3

2

)
∴3(an+1)2+1-3an2-1=2(an+1+

3

2

)，即6a^=2an+1⇒

an+1

an

=3
故数列{a_n}为等比数列，公比为3．
（2）bn=logana⇒

1

bn

=logaan⇒

1

bn+1

-

1

bn

=loga

an+1

an

=loga3
所以数列{

1

bn

}是以

1

b1

为首项，公差为log_a3的等差数列．
又loga3=

1 b k- 1 b l

k-l

=

1+3l-1-3k

k-l

=-3⇒a=3-

1

3

=(

1

3

)

1

3

又

1

bk

=

1

b1

+(k-1)(-3)=1+3l，且k+l=9
∵

1

b1

=3(k+l)-2=25
∴

1

bn

=25+(n-1)(-3)=28-3n⇒bn=

1

28-3n

（3）∵k+l=M₀⇒

1

b1

=3M0-2
∴

1

bn

=3M0-2+(n-1)(-3)=3M0-3n+1
假设第m项后有a_n＞1
∵a=(

1

3

)

1

3

∈(0，1)⇒

1

bn

=logaan＜0
即第m项后

1

bn

＜0，
于是原命题等价于

1 bm ＞0 1 bm+1 ＜0

⇒

3M0-3m+1＞0       3M0-3(m+1)+1＜0

⇒M0-

2

3

＜m＜M0+

1

3

∵m，M∈N^*⇒m=M₀故数列{a_n}从M₀+1项起满足a_n＞1．

点评：本题考查了等差和等比数列的综合，以及数列与不等式相结合等等知识点，属于难题．解题时请注意对数式的处理，和利用派生数列研究题中要求数列的技巧运用．