Question

11．如图，直线PA与圆相切于点A，过P作直线与圆交于C、D两点，点B在圆上，且∠PAC=∠BCD．
（1）证明：AB∥CD；
（2）若PC=2AC，求$\frac{AP}{BC}$．

Answer 1

分析 （1）证明∠ABC=∠BCD，即可证明AB∥CD；
（2）若PC=2AC，证明△PAC∽△CBA，即可求$\frac{AP}{BC}$．

解答 （1）证明：∵直线PA与圆相切于点A，过P作直线与圆交于C、D两点，
∴∠PAC=∠ABC------------（2分）
∵∠PAC=∠BCD
∴∠ABC=∠BCD-----------（3分）
∴AB∥CD---------------（5分）
（2）解：由（1）得AB∥CD，∠PAC=∠ABC
∴∠BAC=∠ACP-------------（7分）
∴△PAC∽△CBA-------------（9分）
∴$\frac{AP}{BC}$=$\frac{PC}{CA}$=2------------------（10分）

点评 本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．